Différences de puissances - Corrigé

Énoncé

1. Trouver trois couples \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) , avec \(x \geqslant y\) , tels que \(x^2-y^2\) soit un nombre premier.

2. a. Montrer que, pour tout \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) , \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) .
    b. Déterminer tous les nombres premiers de la forme \(x^3-1\) avec \(x \in \mathbb{N}\) .
    c. Déterminer tous les nombres premiers de la forme \(x^3-2\) avec \(x \in \mathbb{N}\) .

3. Existe-t-il des couples \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) , avec \(x \geqslant y\) , tels que \(x^4-y^4\) soit un nombre premier ?

Solution

1. Pour tout \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) tel que \(x \geqslant y\) , on a  \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)  donc \((x-y)\) et \((x+y)\) sont des diviseurs de \(x^2-y^2\) , avec \(x-y \leqslant x+y\) car \(y\) est positif ou nul.
Par définition d'un nombre premier, le nombre \(x^2-y^2\) est donc premier si  \(x-y=1\)  et  \(x+y=x^2-y^2\) .

En particulier, \(x=y+1\) et il faut donc chercher deux entiers consécutifs. Les couples \((2;3)\) , \((3;4)\) et \((5;6)\) conviennent, car :

• \(3^2-2^2=9-4=5\) est premier ;
• \(4^2-3^2=16-9=7\) est premier ;
• \(6^2-5^2=36-25=11\) est premier.
  

2. a. Pour tout  \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) , on a
\(\begin{align*}(x-y)(x^2+xy+y^2)& = x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3\\ & = x^3-y^3\end{align*}\)  
donc \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) .

b. D'après la question 2.a, pour tout \(x \in \mathbb{N}\) , on a : \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) . Le nombre \(x^3-1\) est donc premier si, et seulement si :

• ou bien \(x-1=1\) , c'est-à-dire \(x=2\) , et alors \(x^2+x+1=2^2+2+1=7\) ;
• ou bien \(x^2+x+1=1\) , c'est-à-dire \(x(x+1)=0\) , mais alors soit  \(x=0\) et \(x^3-1=-1<0\) n'est pas premier, soit \(x=1\) et \(x^3-1=0\) n'est pas premier.

Ainsi, le nombre \(x^3-1\) est premier si, et seulement si \(x=2\) , et dans ce cas \(x^3-1=7\) .

c. D'après la question 2.a, pour tout \(x \in \mathbb{N}\) , on a : \(x^3-2=(x-2)(x^2+2x+4)\) . Le nombre \(x^3-2\) est donc premier si, et seulement si :

• ou bien \(x-2=1\) , c'est-à-dire \(x=3\) , et alors \(x^2+2x+4=3^2+2 \times 3+4=19\) ;
• ou bien \(x^2+2x+4=1\) , c'est-à-dire \(x^2+2x+3=0\) , mais cela est impossible car le discriminant de ce polynôme est \(\Delta=2^2-4 \times 1 \times 3=4-12=-8<0\) .

Ainsi, le nombre \(x^3-2\) est premier si, et seulement si \(x=3\) , et dans ce cas \(x^3-2=19\) .

3. Pour tout \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) tel que \(x \geqslant y\) , on a 
\(\begin{align*}x^4-y^4=(x^2)^2-(y^2)^2& = (x^2-y^2)(x^2+y^2)\\ & = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)\end{align*}\)  
donc \((x-y)\) , \((x+y)\) et \((x^2+y^2)\) sont des diviseurs de \(x^4-y^4\) , 
avec \(x-y \leqslant x+y \leqslant x^2+y^2\) car \(x\) et \(y\) sont positifs ou nuls.

On en déduit que \(x^4-y^4\) est premier si  \(x-y=x+y=1\) .

• Si \(y=0\) , alors \(x^4-y^4=x^4\) n'est pas premier ;
• Si \(y \neq 0\) , alors \(x-y \neq x+y\) , donc \(x^4-y^4\) n'est pas premier.
  

En conclusion, quel que soit \((x;y) \in \mathbb{N}^2\) tel que \(x \geqslant y\) , l'entier \(x^4-y^4\) n'est jamais un nombre premier.