Différences de puissances - Corrigé

Énoncé

1. Trouver trois couples $(x;y)\in {\mathbb{N}}^2$ , avec $x⩾y$ , tels que $x^2-y^2$ soit un nombre premier.

2. a. Montrer que, pour tout $(x;y)\in {\mathbb{N}}^2$ , $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ .
    b. Déterminer tous les nombres premiers de la forme $x^3-1$ avec $x\in \mathbb{N}$ .
    c. Déterminer tous les nombres premiers de la forme $x^3-2$ avec $x\in \mathbb{N}$ .

3. Existe-t-il des couples $(x;y)\in {\mathbb{N}}^2$ , avec $x⩾y$ , tels que $x^4-y^4$ soit un nombre premier ?

Solution

1. Pour tout $(x;y)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $x⩾y$ , on a  $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$  donc $(x-y)$ et $(x+y)$ sont des diviseurs de $x^2-y^2$ , avec $x-y⩽x+y$ car $y$ est positif ou nul.
Par définition d'un nombre premier, le nombre $x^2-y^2$ est donc premier si  $x-y=1$  et  $x+y=x^2-y^2$ .

En particulier, $x=y+1$ et il faut donc chercher deux entiers consécutifs. Les couples $(2;3)$ , $(3;4)$ et $(5;6)$ conviennent, car :

• $3^2-2^2=9-4=5$ est premier ;
• $4^2-3^2=16-9=7$ est premier ;
• $6^2-5^2=36-25=11$ est premier.
  

2. a. Pour tout  $(x;y)\in {\mathbb{N}}^2$ , on a
$\begin{array}{rl}(x-y)(x^2+xy+y^2)& =x^3+x^{2}y+x{y}^2-x^{2}y-x{y}^2-y^3\\ & =x^3-y^3\end{array}$  
donc $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ .

b. D'après la question 2.a, pour tout $x\in \mathbb{N}$ , on a : $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ . Le nombre $x^3-1$ est donc premier si, et seulement si :

• ou bien $x-1=1$ , c'est-à-dire $x=2$ , et alors $x^2+x+1=2^2+2+1=7$ ;
• ou bien $x^2+x+1=1$ , c'est-à-dire $x(x+1)=0$ , mais alors soit  $x=0$ et $x^3-1=-1<0$ n'est pas premier, soit $x=1$ et $x^3-1=0$ n'est pas premier.

Ainsi, le nombre $x^3-1$ est premier si, et seulement si $x=2$ , et dans ce cas $x^3-1=7$ .

c. D'après la question 2.a, pour tout $x\in \mathbb{N}$ , on a : $x^3-2=(x-2)(x^2+2x+4)$ . Le nombre $x^3-2$ est donc premier si, et seulement si :

• ou bien $x-2=1$ , c'est-à-dire $x=3$ , et alors $x^2+2x+4=3^2+2\times 3+4=19$ ;
• ou bien $x^2+2x+4=1$ , c'est-à-dire $x^2+2x+3=0$ , mais cela est impossible car le discriminant de ce polynôme est $\mathrm{\Delta }=2^2-4\times 1\times 3=4-12=-8<0$ .

Ainsi, le nombre $x^3-2$ est premier si, et seulement si $x=3$ , et dans ce cas $x^3-2=19$ .

3. Pour tout $(x;y)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $x⩾y$ , on a 
$\begin{array}{rl}{x}^4-y^4=(x^2{)}^2-(y^2{)}^2& =(x^2-y^2)(x^2+y^2)\\ & =(x-y)(x+y)(x^2+y^2)\end{array}$  
donc $(x-y)$ , $(x+y)$ et $(x^2+y^2)$ sont des diviseurs de $x^4-y^4$ , 
avec $x-y⩽x+y⩽x^2+y^2$ car $x$ et $y$ sont positifs ou nuls.

On en déduit que $x^4-y^4$ est premier si  $x-y=x+y=1$ .

• Si $y=0$ , alors $x^4-y^4=x^4$ n'est pas premier ;
• Si $y\ne 0$ , alors $x-y\ne x+y$ , donc $x^4-y^4$ n'est pas premier.
  

En conclusion, quel que soit $(x;y)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $x⩾y$ , l'entier $x^4-y^4$ n'est jamais un nombre premier.